Si può spiegare la matematica con un bagel, un pretzel e un panino? È quello che hanno fatto alla premiazione del Nobel per la fisica il 4 ottobre scorso per spiegare cos'è la topologia, una scienza matematica affascinante e per certi versi strana, alla base delle ricerche che hanno portato all'ambito premio.
Ma, bagel a parte, che cos'è la topologia? Dimenticate numeri e formule: ecco invece una matematica che non vi aspettereste, raccontata in modo semplice e discorsivo da Antonio Lerario, topologo e ricercatore alla SISSA di Trieste.
Di topologia abbiamo sentito molto parlare in questi giorni, in occasione del Nobel: che cos'è esattamente?
La topologia è una branca della matematica che studia le figure geometriche in base alla loro forma. Pensate a una palla e immaginatela come se fosse un pezzo di gomma che possiamo modellare a piacere. Che cosa succede quando ne distorciamo la forma? Può diventare un cubo, un cilindro, un cono, un parallelepipedo o molte altre figure più o meno regolari. Oppure pensate a una ciambella: sembra strano ma possiamo deformarla fino a farla diventare una tazzina da caffè. La topologia gioca con le forme.
In un certo senso la topologia è considerata una sottodisciplina della geometria, ma è l'approccio a essere differente. Torniamo alla ciambella. Se le diamo un morso, anche molto piccolo, per il geometra otteniamo un oggetto diverso: la forma di quella cosa che avevamo all'origine adesso è diversa, così come il suo volume, che è diminuito.
Per il topologo no, non c'è differenza: si può giocare con la forma, deformarla un po' e far tornare la ciambella come prima. Non conta se è più piccola. Rimane sempre una ciambella, indipendentemente dalle deformazioni.
Questo perché l'approccio della geometria è quantitativo, mentre la topologia ha un approccio più qualitativo.
Quindi niente numeri?
Niente numeri. Non vedi equazioni o funzioni come te le aspetti per esempio nell'analisi matematica. È tutto basato sul disegno delle forme che si vogliono studiare. Per questo la topologia può avere molto fascino anche per i non matematici: un seminario o una lezione di topologia possono essere tranquillamente accessibili a un pubblico di non specialisti, che potrebbero anche non vedere un solo numero sulla lavagna. Ha un grandissimo potenziale comunicativo.
Questo è dovuto ai disegni e al linguaggio. Se si fissa un lessico di base o ci si accorda sul linguaggio convenzionale, tutti possiamo capirci. Se dico palla, tutti sanno che cosa intendo. Se parlo di figure più particolari, le disegno. In topologia studiamo il toro, una figura a forma di ciambella.
Se definisco cos'è un toro o se lo disegno, adottiamo un linguaggio comune e possiamo intenderci: è tutto legato all'intuizione visiva.
La topologia può aiutare molti ragazzi che non sanno di essere portati per la matematica
Certo, il linguaggio della topologia qualche volta porta a espressioni che sembrano paradossali nel linguaggio comune. Per esempio, abbiamo un teorema per dimostrare che non è possibile pettinare una sfera... E c'è una teoria secondo cui possiamo tagliare un sandwich al formaggio esattamente a metà con un solo taglio... anche se il sandwich si trova in cucina e il formaggio in soggiorno!
Nella pratica, cosa fa il topologo?
Si pone e risolve problemi. Come il filosofo... ma noi lo facciamo con i disegni. Per fare topologia bastano un foglio e una matita, non c'è bisogno di computer, programmi o altri strumenti. In questo senso la topologia è davvero una scienza di riflessione: c'è un aspetto innegabile di pura ricerca intellettuale nel porre e risolvere problemi o nel dimostrare teoremi. Poi c'è l'aspetto estetico: è il piacere estetico legato alle figure studiate, che possono essere anche molto complesse.
Quali sono le applicazioni della topologia?
Le potenzialità sono molte, ma tra le tante mi piace pensare alla sua capacità di alimentare la nostra immaginazione e il piacere della scoperta. Penso ai giovani e ai bambini: sarebbe bello se alle scuole medie o elementari si stimolassero i bambini a pensare in modo diverso, insegnando qualcosa che ricorda la topologia. Potrebbe aiutare molti ragazzi che non sanno di essere portati per la matematica: spesso i numeri producono un effetto respingente che li scoraggia. Quello topologico è un approccio visivo e matematico che permette di fare dimostrazioni con i disegni, utilizzando un linguaggio lontano da quello dei numeri.
Perché la topologia è intuitiva, basata sul senso comune: può regalare un piacere intellettuale accessibile a tutti, e qualche volta anche un Nobel.
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Il Pi greco permea la nostra esistenza, ben oltre i problemi di geometria a scuola, dove è conosciuto come il rapporto fra la circonferenza e il diametro del cerchio (o l'area di un cerchio di raggio uguale a 1).
Dall'elettromagnetismo alla meccanica quantistica, il Pi greco investe molti settori. Ad esempio ha a che fare con il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, entra in campo nel periodo di oscillazione del pendolo (che è proporzionale al nostro numero irrazionale), così come nella forza di Coulomb tra due oggetti carichi elettricamente.
Ma la storia del Pi greco ha circa 4mila anni. Furono i Babilonesi, grandi matematici e architetti, i primi a impiegarlo, interpretandolo come 3,125.
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Poi vennero gli Egizi. In un papiro egizio del XVII sec. a. C. era approssimato a 3,1605.
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I Greci usavano poligoni tangenti internamente ed esternamente a un cerchio, ovvero rispettivamente inscritti e circoscritti (vedi grafico sopra). La lunghezza di una circonferenza e infatti necessariamente compresa fra un limite superiore e uno inferiore, rappresentati rispettivamente dal perimetro del poligono esterno, leggermente maggiore, e quello interno, di poco minore. Quanti più lati ha un poligono, tanto più precisa e la sua approssimazione al cerchio, e di conseguenza tanto maggiore e la precisione con cui si può ricavare il numero che lega la circonferenza al suo diametro. Archimede di Siracusa (287- 212 a.C.) usò poligoni con 96 lati. La sua conclusione fu che il numero del cerchio doveva essere più piccolo di 3+(1/7) ma più grande di 3+(10/71). Rappresentare con un numero decimale il valore intermedio tra i due non era ancora alla portata dei Greci, ma il risultato sarebbe stato 3,1419. Ha tre cifre corrette dopo la virgola, e si discosta solo dell’1% dal valore di oggi.
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Nei secoli successivi i miglioramenti nell’approssimazione non furono particolarmente significativi. Un grande balzo riuscì a due astronomi cinesi del V secolo, Tsu Chung Chi (nel francobollo della foro in alto) e suo figlio Tsu Keng Chi, i quali trovarono come valore approssimato di Pi greco la frazione 355/113, da cui si ottiene il risultato arrotondato 3,1415929. Tramite poligoni con oltre 20mila lati giunsero a una valutazione di π che si discosta solo di una parte su un miliardo dal valore corretto: un record destinato a rimanere insuperato per quasi mille anni.
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A partire dal XVI secolo anche molti matematici europei moltiplicarono i propri sforzi per meglio approssimare il Pi greco. Ludolph van Ceulen (1539-1610, nella foto) vi dedico 30 anni della sua vita. Calcolo il perimetro di poligoni con ben 4,6 miliardi di miliardi di lati e in tal modo riuscì a determinare 35 cifre decimali di π.
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Il record di calcolo manuale fu pero stabilito nel 1946 da un tal D. F. Ferguson, che arrivò a 620 cifre decimali. Poi arrivarono i computer.
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Ma perché tanto accanimento per un calcolo del genere? «La matematica e il modo perfetto per prendersi in giro» ha detto Albert Einstein, il grande bastian contrario, il cui anniversario della nascita ricorre il 14 marzo (come i fan del Pi greco non mancano di ricordare).
Dieci cifre di π dopo la virgola sono già sufficienti a determinare il raggio terrestre con la precisione di un millimetro.
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Il record mondiale (non ufficiale) della “disciplina” di ricordare a memoria e declamare a voce alta i numeri decimali del Pi greco è stato raggiunto al giapponese Akira Haraguchi, nella foto, che ha recitato 100mila cifre in 16 ore.
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Il numero π è ciò che i matematici chiamano “normale”? Si può dire, cioè, che la successione dei suoi decimali sia completamente casuale, oppure da qualche parte fra i miliardi di cifre si nascondono imprevedibili regolarità? Al 762° decimale compare per esempio la sequenza 999999. Come si può escludere che sia un frammento di distribuzione regolare di cifre fino a ora inosservata?
Sommando le prime 20 cifre dopo la virgola si ottiene come risultato 100. Sommando le prime 144 si ottiene 666, ma 144 e il quadrato di 12, ovvero (6+6)×(6+6).
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L’altezza di un elefante dal suolo alla spalla si può determinare moltiplicando per 2π il diametro di una sua zampa.
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La matematica può davvero insegnarci qualcosa della natura? O si è semplicemente adattata alle forme naturali che pretendeva di descrivere? Le forme della natura spesso fanno intravedere le corrispondenti regolarità della fisica e della matematica. Quali sono le loro leggi e i loro seguiti dunque?
Per frattali i matematici intendono tutte quelle forme geometriche con dettagli così intricati che anche con successivi ingrandimenti rimangono tali. L'esempio più eclatante? Quello del fiocco di neve.
Dal grande al piccolo, la sfera è una delle forme preferite in natura. Pianeti, lune e stelle sono in modo più o meno approssimativo delle sfere. Mettendo le cose sotto la lente d'ingrandimento però si scoprono forme anche più affascinanti.
La sfera nella foto, simile - anche in questo caso - ad una pallina da tennis, solcata da tre linee proporzionali, è un granello di polline di un fiore della passione (Passiflora). Quando uno di questi granelli, che contiene i gameti maschili, si appoggia sullo stigma di una altro fiore, ha inizio la germinazione.
Anche la vita inizia da una sfera. L'ovulo verso cui si protende lo spermatozoo è rotondo, così come sono rotonde le prime cellule che si agglomerano per dar vita "alla vita". Le primissime fasi dello sviluppo dell'embrione umano, colte da questa micrografia elettronica, compongono la cosiddetta morula: qui sono 8 le cellule, chiamate blastomeri, la cui successiva divisione permetterà la formazione delle milioni di cellule di cui è composto il feto. A questo stadio, la morula non è ancora impiantata nell'utero.
Un matematico che, invece di calcolatrice e goniometro, usa… bolle di sapone? Ebbene sì: la matematica delle bolle esiste ed è nata ufficialmente attorno al 1830 quando il fisico belga Joseph Plateau cominciò a immergere varie strutture di filo metallico in acqua e sapone. I risultati? Sorprendenti. Si pensi che se si soffia con una cannuccia in una soluzione d'acqua, gli angoli che le lamine formano sono solo di due tipi: o di 120° o di 109° 28'. Tutta la seducente geometria della schiuma sta in un'unica bolla, qui a fianco in una foto scattata con il metodo Schlieren.
Che succede quando un sassolino rompe lo specchio di un laghetto o quando le prime gocce di pioggia cadono in una pozzanghera? Si creano onde concentriche che si diramano progressivamente verso l'esterno. La simmetria che si crea in questo caso è circolare: è determinata dal fatto che le increspature generate dal sassolino o dalla goccia si propagano allo stesso ritmo in tutte le direzioni.
Foto: © Antonio Martella
La superficie della Terra è irregolare e le condizioni meteorologiche sono influenzate proprio dalla conformazione del terreno. Le montagne creano nell'atmosfera delle onde e le nubi si formano in corrispondenza dei picchi delle onde, dove l'umidità si condensa a contatto con l'aria fredda.
I treni di onde che si formano con impressionante regolarità sono visibili dai satelliti puntati sulla Terra, come Aqua della Nasa, responsabile di quest'immagine delle South Sandwich Islands. Nel Pacifico meridionale, questa catena di undici isole vulcaniche, che si estende per 400 chilometri, emerge prepotente dall'oceano: la loro altezza varia da un minimo di 551 metri ad un massimo di 1.100 e disegna in questo modo le nuvole sovrastanti.
Possibile che anche lo sviluppo delle piante segua schemi matematici precisi? Certo è che molte di esse mostrano regolarità celate nei posti più inaspettati. Pensiamo per esempio ai numeri speciali (i cosiddetti numeri di Fibonacci) che ricorrono in molte strutture naturali come i fiori di giglio che hanno 3 petali o margherite e girasoli che possono averne 34, 55 o 89. I numeri di Fibonacci sono gli elementi di una sequenza numerica in cui ogni numero a partire dal terzo è la somma dei due precedenti (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34). Furono scoperti da Leonardo Pisano, detto Fibonacci, agli inizi del '200, osservando il mondo in cui si riproduceva una colonia di conigli. Difficilmente in natura troverete fiori con un numero di petali diverso da un numero di Fibonacci.
Foto: © Yll
Un mollusco che costruisce la sua casa seguendo una configurazione matematica? Sembra proprio di sì a vedere la conchiglia del nautilo: avvolta a spirale piana, è composta di celle curve che si avvolgono verso il centro e che si formano man mano che la creatura aumenta le sue dimensioni nella crescita. Il risultato è una spirale logaritmica perfetta. Oltre alla forma, i matematici hanno studiato le configurazioni che ornano le conchiglie: i motivi di molte conchiglie che sembrano irregolari sono infatti regolati da semplici regole matematiche secondo cui si depositano i pigmenti.
Abbiamo spesso notato come la bellezza nell'uomo sia frutto di complesse simmetrie. Anche il regno animale è caratterizzato specialmente da una simmetria, quella bilaterale, detta anche simmetria speculare in cui il lato sinistro e quello destro sono identici a meno di una riflessione. Pensiamo solo ad una farfalla in cui ogni ala reca l'immagine speculare del disegno presente sull'altra. Ma non ci sono solo riflessioni. Nella stella marina (Fromia monilis) qui a fianco, per esempio, si può vedere una simmetria di rotazione: ruotandola di cinque posizioni diverse, la stella mantiene infatti lo stesso aspetto.
Il cielo si muove con una regolarità che ha appassionato e ispirato l'uomo fin dall'antichità. A guardarci bene però il nostro sistema solare è regolato da un misto di caos e ordine. Si pensi agli spettacolari anelli di roccia che fluttuano attorno a Saturno. Si tratta di un sistema complicatissimo di anelli sottili (composti di rocce e ghiaccio), spazi vuoti e altre irregolarità. Gli spazi vuoti non sono casuali, ma determinati dalle perturbazioni dei satelliti che ruotano attorno al pianeta. Un astronomo britannico, Carl Murray, ha dimostrato che esiste una relazione matematica tra la massa del satellite e l'ampiezza del vuoto lasciato, che per l'esattezza è proporzionale ai 2/7 della massa.
Perché il manto di certi animali è coperto da geometriche strisce o costellato di macchie? La tigre (Panthera tigris altaica) nella foto, ma anche pesci, zebre e farfalle, si sono coperti di strisce per motivi evolutivi, per mimetizzarsi e meglio adattarsi nel proprio ambiente naturale. Nel 1956, il matematico inglese Alan Turing elaborò complesse equazioni matematiche sulla modalità di diffusione delle sostanze chimiche (e dei pigmenti) nei tessuti: secondo queste teorie queste sostanze (dette morfogeni, cioè creatori di forme) reagiscono tra di loro e si dispongono in configurazioni spontanee, ma non casuali. Certo i modelli di Turing erano un po' troppo scollati dalla realtà biologica, ma rappresentano l'ennesimo tentativo di usare la matematica per spiegare la bellezza della natura.
