Tori, sfere pelose e iper-samurai: viaggio nella topologia

Una branca della matematica che studia le figure geometriche in base alla loro forma è alla base delle ricerche che hanno portato al Nobel per la Fisica 2016.

samurai
Il teorema del sandwich al prosciutto afferma che dati "n oggetti" in uno spazio "n-dimensionale", di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi, esiste sempre almeno un iperpiano "(n-1)-dimensionale" in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Quindi... Se un iper-samurai provasse a tagliare un sandwich di cui una fetta di pane si trova in cucina, l'altra in soggiorno e il prosciutto in balcone, riuscirebbe sempre a tagliare tutti gli ingredienti a metà con un solo colpo di sciabola. | Antonio Lerario, grafica di Vittoria Toso

Si può spiegare la matematica con un bagel, un pretzel e un panino? È quello che hanno fatto alla premiazione del Nobel per la fisica il 4 ottobre scorso per spiegare cos'è la topologia, una scienza matematica affascinante e per certi versi strana, alla base delle ricerche che hanno portato all'ambito premio.

 

Ma, bagel a parte, che cos'è la topologia? Dimenticate numeri e formule: ecco invece una matematica che non vi aspettereste, raccontata in modo semplice e discorsivo da Antonio Lerario, topologo e ricercatore alla SISSA di Trieste.

 

Di topologia abbiamo sentito molto parlare in questi giorni, in occasione del Nobel: che cos'è esattamente?
La topologia è una branca della matematica che studia le figure geometriche in base alla loro forma. Pensate a una palla e immaginatela come se fosse un pezzo di gomma che possiamo modellare a piacere. Che cosa succede quando ne distorciamo la forma? Può diventare un cubo, un cilindro, un cono, un parallelepipedo o molte altre figure più o meno regolari. Oppure pensate a una ciambella: sembra strano ma possiamo deformarla fino a farla diventare una tazzina da caffè. La topologia gioca con le forme.

 

In un certo senso la topologia è considerata una sottodisciplina della geometria, ma è l'approccio a essere differente. Torniamo alla ciambella. Se le diamo un morso, anche molto piccolo, per il geometra otteniamo un oggetto diverso: la forma di quella cosa che avevamo all'origine adesso è diversa, così come il suo volume, che è diminuito.

 

topologia
In topologia la figura più studiata ha la forma di una ciambella: nel linguaggio topologico è chiamata "toro". | Antonio Lerario, grafica di Vittoria Toso

Per il topologo no, non c'è differenza: si può giocare con la forma, deformarla un po' e far tornare la ciambella come prima. Non conta se è più piccola. Rimane sempre una ciambella, indipendentemente dalle deformazioni.

 

Questo perché l'approccio della geometria è quantitativo, mentre la topologia ha un approccio più qualitativo.

 

Quindi niente numeri?
Niente numeri. Non vedi equazioni o funzioni come te le aspetti per esempio nell'analisi matematica. È tutto basato sul disegno delle forme che si vogliono studiare. Per questo la topologia può avere molto fascino anche per i non matematici: un seminario o una lezione di topologia possono essere tranquillamente accessibili a un pubblico di non specialisti, che potrebbero anche non vedere un solo numero sulla lavagna. Ha un grandissimo potenziale comunicativo.

 

Questo è dovuto ai disegni e al linguaggio. Se si fissa un lessico di base o ci si accorda sul linguaggio convenzionale, tutti possiamo capirci. Se dico palla, tutti sanno che cosa intendo. Se parlo di figure più particolari, le disegno. In topologia studiamo il toro, una figura a forma di ciambella. Se definisco cos'è un toro o se lo disegno, adottiamo un linguaggio comune e possiamo intenderci: è tutto legato all'intuizione visiva.

 

La topologia può aiutare molti ragazzi che non sanno di essere portati per la matematica

 

Certo, il linguaggio della topologia qualche volta porta a espressioni che sembrano paradossali nel linguaggio comune. Per esempio, abbiamo un teorema per dimostrare che non è possibile pettinare una sfera... E c'è una teoria secondo cui possiamo tagliare un sandwich al formaggio esattamente a metà con un solo taglio... anche se il sandwich si trova in cucina e il formaggio in soggiorno!

 

topologia
Il teorema topologico della palla pelosa afferma che non è possibile pettinare completamente una sfera, cioé pettinarla di modo che tutti i capelli vadano in un'unica direzione. | Antonio Lerario, grafica di Vittoria Toso

Nella pratica, cosa fa il topologo?
Si pone e risolve problemi. Come il filosofo... ma noi lo facciamo con i disegni. Per fare topologia bastano un foglio e una matita, non c'è bisogno di computer, programmi o altri strumenti. In questo senso la topologia è davvero una scienza di riflessione: c'è un aspetto innegabile di pura ricerca intellettuale nel porre e risolvere problemi o nel dimostrare teoremi. Poi c'è l'aspetto estetico: è il piacere estetico legato alle figure studiate, che possono essere anche molto complesse.

 

Quali sono le applicazioni della topologia?
Le potenzialità sono molte, ma tra le tante mi piace pensare alla sua capacità di alimentare la nostra immaginazione e il piacere della scoperta. Penso ai giovani e ai bambini: sarebbe bello se alle scuole medie o elementari si stimolassero i bambini a pensare in modo diverso, insegnando qualcosa che ricorda la topologia. Potrebbe aiutare molti ragazzi che non sanno di essere portati per la matematica: spesso i numeri producono un effetto respingente che li scoraggia. Quello topologico è un approccio visivo e matematico che permette di fare dimostrazioni con i disegni, utilizzando un linguaggio lontano da quello dei numeri.

 

Perché la topologia è intuitiva, basata sul senso comune: può regalare un piacere intellettuale accessibile a tutti, e qualche volta anche un Nobel.

 

Vedi anche

 

8 ottobre 2016 | Simona Marra