Il matematico canadese Robert Langlands ha vinto il Premio Abel 2018, uno dei più importanti riconoscimenti nel campo della matematica - per aver scoperto rapporti inaspettati tra algebra, teoria dei numeri e analisi: connessioni che hanno alimentato le scoperte matematiche dell'ultimo mezzo secolo. Lo ha annunciato il 20 marzo l'Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere, che ha assegnato il premio da 6 milioni di corone norvegesi (631 mila euro circa).
Una grande teoria unificatrice. Langlands, 81 anni, è Professore emerito presso l'Istituto di Studi Avanzati di Princeton, New Jersey, dove occupa l'ufficio che un tempo fu di Albert Einstein. È considerato un visionario per aver tracciato, nel 1967, un'ampia rete di congetture unificatrici che suggerivano profondi legami tra due aree, fino a quel tempo considerate separate: la teoria dei numeri e l'analisi armonica.
La prima è quel ramo della matematica che si occupa dello studio delle proprietà dei numeri interi; la seconda può essere considerata, in termini molto generali e con una buona dose di approssimazione, lo studio delle onde periodiche (come l'onda sinusoidale): questa disciplina considera l'andamento di una funzione come sovrapposizione di andamenti periodici fondamentali - le armoniche, appunto.
Modestia proverbiale. Langlands evidenziò per la prima volta le profonde connessioni tra le due discipline apparentemente non connesse in una lettera di 17 pagine scritta a mano, che consegnò al grande matematico francese André Weil. Langlands era all'epoca un professore associato di 30 anni a Princeton, Weil un celebre scienziato di 60. «Se avrà voglia di leggerla come fosse una pura speculazione lo apprezzerei molto», scrisse «altrimenti, sono sicuro che ha un cestino per la carta a portata di mano».
Codice interpretativo. Ma la lettera conteneva una chiave di lettura nel modo di pensare la matematica talmente rivoluzionaria, che Weil la fece rapidamente circolare tra altri matematici: quelle righe, ribattezzate Programma Langlands, hanno costituito il campo di ricerca base per centinaia tra le migliori menti matematiche degli ultimi 50 anni, e sono considerate una sorta di "Stele di Rosetta" per tradurre tra diversi campi di questa disciplina.
Grazie al Programma Langlands, un problema che in un campo poteva sembrare insolvibile può diventare più facilmente affrontabile in un altro. Per esempio, questo programma è servito da punto di partenza per la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat, pubblicata dal matematico britannico Andrew Wiles nel 1995.
Il Premio Abel per la matematica (che prende il nome dal matematico norvegese Niels Hendrik Abel) premia dal 2003 gli scienziati di chiara fama e influenza mondiale. In passato è stato assegnato ad Andrew Wiles e a John Nash, la cui vita ha ispirato il film A Beautiful Mind.
Da molti il riconoscimento è considerato una sorta di "Nobel per la Matematica"; lo stesso titolo è associato anche alla Medaglia Fields, riservata però ai promettenti matematici 40 anni o più giovani.
La matematica può davvero insegnarci qualcosa della natura? O si è semplicemente adattata alle forme naturali che pretendeva di descrivere? Le forme della natura spesso fanno intravedere le corrispondenti regolarità della fisica e della matematica. Quali sono le loro leggi e i loro seguiti dunque?
Per frattali i matematici intendono tutte quelle forme geometriche con dettagli così intricati che anche con successivi ingrandimenti rimangono tali. L'esempio più eclatante? Quello del fiocco di neve.
Dal grande al piccolo, la sfera è una delle forme preferite in natura. Pianeti, lune e stelle sono in modo più o meno approssimativo delle sfere. Mettendo le cose sotto la lente d'ingrandimento però si scoprono forme anche più affascinanti.
La sfera nella foto, simile - anche in questo caso - ad una pallina da tennis, solcata da tre linee proporzionali, è un granello di polline di un fiore della passione (Passiflora). Quando uno di questi granelli, che contiene i gameti maschili, si appoggia sullo stigma di una altro fiore, ha inizio la germinazione.
Anche la vita inizia da una sfera. L'ovulo verso cui si protende lo spermatozoo è rotondo, così come sono rotonde le prime cellule che si agglomerano per dar vita "alla vita". Le primissime fasi dello sviluppo dell'embrione umano, colte da questa micrografia elettronica, compongono la cosiddetta morula: qui sono 8 le cellule, chiamate blastomeri, la cui successiva divisione permetterà la formazione delle milioni di cellule di cui è composto il feto. A questo stadio, la morula non è ancora impiantata nell'utero.
Un matematico che, invece di calcolatrice e goniometro, usa… bolle di sapone? Ebbene sì: la matematica delle bolle esiste ed è nata ufficialmente attorno al 1830 quando il fisico belga Joseph Plateau cominciò a immergere varie strutture di filo metallico in acqua e sapone. I risultati? Sorprendenti. Si pensi che se si soffia con una cannuccia in una soluzione d'acqua, gli angoli che le lamine formano sono solo di due tipi: o di 120° o di 109° 28'. Tutta la seducente geometria della schiuma sta in un'unica bolla, qui a fianco in una foto scattata con il metodo Schlieren.
Che succede quando un sassolino rompe lo specchio di un laghetto o quando le prime gocce di pioggia cadono in una pozzanghera? Si creano onde concentriche che si diramano progressivamente verso l'esterno. La simmetria che si crea in questo caso è circolare: è determinata dal fatto che le increspature generate dal sassolino o dalla goccia si propagano allo stesso ritmo in tutte le direzioni.
Foto: © Antonio Martella
La superficie della Terra è irregolare e le condizioni meteorologiche sono influenzate proprio dalla conformazione del terreno. Le montagne creano nell'atmosfera delle onde e le nubi si formano in corrispondenza dei picchi delle onde, dove l'umidità si condensa a contatto con l'aria fredda.
I treni di onde che si formano con impressionante regolarità sono visibili dai satelliti puntati sulla Terra, come Aqua della Nasa, responsabile di quest'immagine delle South Sandwich Islands. Nel Pacifico meridionale, questa catena di undici isole vulcaniche, che si estende per 400 chilometri, emerge prepotente dall'oceano: la loro altezza varia da un minimo di 551 metri ad un massimo di 1.100 e disegna in questo modo le nuvole sovrastanti.
Possibile che anche lo sviluppo delle piante segua schemi matematici precisi? Certo è che molte di esse mostrano regolarità celate nei posti più inaspettati. Pensiamo per esempio ai numeri speciali (i cosiddetti numeri di Fibonacci) che ricorrono in molte strutture naturali come i fiori di giglio che hanno 3 petali o margherite e girasoli che possono averne 34, 55 o 89. I numeri di Fibonacci sono gli elementi di una sequenza numerica in cui ogni numero a partire dal terzo è la somma dei due precedenti (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34). Furono scoperti da Leonardo Pisano, detto Fibonacci, agli inizi del '200, osservando il mondo in cui si riproduceva una colonia di conigli. Difficilmente in natura troverete fiori con un numero di petali diverso da un numero di Fibonacci.
Foto: © Yll
Un mollusco che costruisce la sua casa seguendo una configurazione matematica? Sembra proprio di sì a vedere la conchiglia del nautilo: avvolta a spirale piana, è composta di celle curve che si avvolgono verso il centro e che si formano man mano che la creatura aumenta le sue dimensioni nella crescita. Il risultato è una spirale logaritmica perfetta. Oltre alla forma, i matematici hanno studiato le configurazioni che ornano le conchiglie: i motivi di molte conchiglie che sembrano irregolari sono infatti regolati da semplici regole matematiche secondo cui si depositano i pigmenti.
Abbiamo spesso notato come la bellezza nell'uomo sia frutto di complesse simmetrie. Anche il regno animale è caratterizzato specialmente da una simmetria, quella bilaterale, detta anche simmetria speculare in cui il lato sinistro e quello destro sono identici a meno di una riflessione. Pensiamo solo ad una farfalla in cui ogni ala reca l'immagine speculare del disegno presente sull'altra. Ma non ci sono solo riflessioni. Nella stella marina (Fromia monilis) qui a fianco, per esempio, si può vedere una simmetria di rotazione: ruotandola di cinque posizioni diverse, la stella mantiene infatti lo stesso aspetto.
Il cielo si muove con una regolarità che ha appassionato e ispirato l'uomo fin dall'antichità. A guardarci bene però il nostro sistema solare è regolato da un misto di caos e ordine. Si pensi agli spettacolari anelli di roccia che fluttuano attorno a Saturno. Si tratta di un sistema complicatissimo di anelli sottili (composti di rocce e ghiaccio), spazi vuoti e altre irregolarità. Gli spazi vuoti non sono casuali, ma determinati dalle perturbazioni dei satelliti che ruotano attorno al pianeta. Un astronomo britannico, Carl Murray, ha dimostrato che esiste una relazione matematica tra la massa del satellite e l'ampiezza del vuoto lasciato, che per l'esattezza è proporzionale ai 2/7 della massa.
Perché il manto di certi animali è coperto da geometriche strisce o costellato di macchie? La tigre (Panthera tigris altaica) nella foto, ma anche pesci, zebre e farfalle, si sono coperti di strisce per motivi evolutivi, per mimetizzarsi e meglio adattarsi nel proprio ambiente naturale. Nel 1956, il matematico inglese Alan Turing elaborò complesse equazioni matematiche sulla modalità di diffusione delle sostanze chimiche (e dei pigmenti) nei tessuti: secondo queste teorie queste sostanze (dette morfogeni, cioè creatori di forme) reagiscono tra di loro e si dispongono in configurazioni spontanee, ma non casuali. Certo i modelli di Turing erano un po' troppo scollati dalla realtà biologica, ma rappresentano l'ennesimo tentativo di usare la matematica per spiegare la bellezza della natura.
A occhio e croce. I numeri non sarebbero una costruzione culturale, ma incarnati nelle proprietà fisiche del nostro cervello e in quello di molti altri animali. È la conclusione cui stanno giungendo sempre più numerosi studi di neurobiologia.
Osservazioni condotte su vari animali, dalle rane ai pulcini, dalle scimmie ai pappagalli, rendono sempre più evidente l'esistenza di un senso del numero innato: quello che per esempio ci consente di valutare se la fusione di due stormi di uccelli all'orizzonte darà luogo a uno più grande o più piccolo rispetto a un terzo stormo. Questo senso del numero avrebbe avuto una grande importanza nella storia evolutiva e nella lotta per la sopravvivenza. Anche popoli che non hanno elaborato un sistema formale e simbolico di matematica, per esempio alcune tribù amazzoniche che hanno solo le parole per contare fino a cinque, sono in grado di stimare le grandezze al pari di un occidentale.
Foto: © Debbie Hill/Upi/Landov/Ipa
Anche i leoni contano. Uno studio effettuato nel parco nazionale del Serengeti, in Tanzania, ha mostrato come le leonesse, che si organizzano in branchi per vari scopi, tra cui la difesa del territorio, decidono se reagire o no all'intrusione di un branco avversario in base al numero di invasori da cui è composto. Grazie al senso del numero riuscirebbero a fare una stima numerica degli avversari non solo su base visiva, ma anche dai versi e dai ruggiti che sentono. Più sono le leonesse amiche e meno le nemiche (stimate in base ai ruggiti) più aumenta la probabilità di reazione del gruppo.
Foto: © Caters/Ipa
Piccole probabilità. Perfino i bambini di pochi mesi sarebbero dotati di un'innata capacità di fare stime probabilistiche. In un esperimento recente, un gruppo di psicologi cognitivi ha presentato a bambini di un anno un'urna sferica, con un'apertura sul fondo, contenente tre palline gialle e una blu. I bimbi guardavano la scena più a lungo, dimostrandosi "sorpresi", quando dall'urna usciva la pallina blu (evento più improbabile) rispetto a quando usciva quella gialla.
Nonostante questa intuizione precoce, però, fino a cinque-sei anni i bambini non sono in grado di fare previsioni probalistiche esplicite. In età da asilo, e prima di qualunque apprendimento formale di matematica, sono però in grado - secondo altri studi - di fare stime corrette di somme di quantità numeriche.
Foto: © Justin Paget/Corbis
Aritmetica intuitiva. A dimostrare che linguaggio e cultura non sono essenziali per alcune forme elementari di calcolo c'è anche uno studio condotto presso alcune popolazioni indigene, come i Kaqchikel del Guatemala (nella foto). Individui adulti e privi di istruzione sanno fare stime di probabilità e proporzioni tanto correttamente quanto bambini occidentali che hanno ricevuto un'istruzione scolastica formale.
Foto: © John Isaac via Wikimedia Commons
I numeri in testa. Gli scienziati hanno individuato neuroni localizzati nel lobo parietale che rispondono in modo selettivo alla numerosità degli stimoli. Sono la radice biologica del senso del numero?
Foto: © Thom Lang/Corbis
La biologia dei numeri reali. Nel corso dei millenni la matematica è diventata sempre più generale e astratta, sempre più potente e raffinata. L'avvio di questa evoluzione culturale è stata la scoperta dei numeri reali, ossia i numeri che possono essere seguiti da una serie finita o infinita di decimali. Ma alla base di questo complesso concetto potrebbe esserci - secondo la neurobiologia del numero - proprio la struttura del nostro sistema nervoso: in grado di rappresentare quantità discrete (insiemi di oggetti che si possono contare) solo in misura imprecisa e approssimativa.
Superdotati. Oltre a un senso del numero che consente agli uomini e a molti animali di fare stime in modo approssimativo, sembra che per piccole quantità (fino a 3-4 elementi) sia all'opera un meccanismo, probabilmente basato sulla memoria e l'attenzione, che ci consente di fare calcoli esatti. Può esistere analogo meccanismo per quantità più numerose?
Il neurologo e scrittore Oliver Sacks ha raccontato il caso di due gemelli autistici che potevano calcolare a colpo d'occhio il numero di fiammiferi rovesciati da una scatola. E queste capacità eccezionali sono state riferite altre volte. Secondo l'ipotesi di alcuni autori questi individui non sarebbero capaci di contare a colpo d'occhio quantità molto numerose, ma sarebbero più bravi a usare strategie percettive per fare una stima delle quantità.
Foto: © Gregor Schuster/Corbis
Innaturale come lo zero. Quello che non c'è non può esser contato, si legge nella Bibbia. La notazione simbolica dello zero è stata introdotta tardi nella storia della matematica: i primi a impiegarlo come un numero alla stregua di tutti gli altri sono stati i matematici indiani tra il terzo e il sesto secolo d.C.
Anche i bambini hanno difficoltà a sviluppare il concetto di zero: forse perché, a differenza dei numeri interi che rappresentano entità concrete, lo zero ha poca utilità nella vita quotidiana. È un simbolo sofisticato che non ha corrispettivi immediati nel cervello.
Numeri in fila. Sembra che ci siano anche neuroni specifici per l'aspetto ordinale del numero. Esisterebbe una retta numerica mentale su cui ci rappresentiamo i numeri: le quantità più piccole, come diversi esperimenti dimostrano, sarebbero rappresentate a sinistra, le più grandi a destra. Questo modo di rappresentare i numeri non sarebbe determinato da fattori culturali, come il fatto che scriviamo e leggiamo da sinistra a destra, ma sarebbe innato.
Foto: © Angelo Cavalli/Corbis
Vertici del pensiero. Come si è passati dalla matematica innata, non verbale, approssimata con il senso del numero che condividiamo con gli animali, al sistema altamente complesso della matematica formale e simbolica?
C'è chi nega che vi siano relazioni tra le due. Altri studi farebbero però pensare il contrario: chi ha un senso del numero più spiccato sembra anche più dotato in matematica a scuola. Il senso del numero costituisce il fondamento della matematica formale? È una questione ancora irrisolta, ma varie ricerche farebbero propendere per il sì.
Nella foto: una tavola sulla trigonometria dall'Enciclopedia di Diderot e D'Alembert.
Foto: © Contrasto
Matematica in culla. Se, come sembra, le capacità matematiche, tra cui quella di contare, identificare i numeri, e fare alcuni calcoli elementari, sono basate sul senso del numero, si potrebbe pensare di partire da questa capacità innata, facendo fare esercizio fin da piccolissimi, per sviluppare le competenze matematiche e facilitare l'apprendimento a scuola. È un filone di ricerca aperto.
Foto: © Matt Bird/Corbis
