La vera natura delle addizioni

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Frattali

In quanti modi si può scrivere 4 come somma di numeri interi? 1+3, 2+2... E 10.000? In quanti modi si può scrivere? Un giovane scienziato americano è venuto a capo di un problema, banale solo in apparenza, che tiene in scacco i matematici da secoli.
(Focus.it, 20 gennaio 2011)

Ken Ono, un ricercatore della Emory University di Atlanta, in Georgia, è venuto a capo di uno degli enigmi matematici più resistenti della storia: la funzione di partizione. A prima vista sembra un problema banale: la partizione di un numero intero n è una sequenza di numeri interi la cui somma dà come risultato n. Per esempio, il numero 4 può essere scritto come somma di interi in 5 modi diversi:
4=4
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1+1
Si dice quindi che la partizione di 4 è 5 e si indica come P(4)=5
La sequenza delle partizioni dei primi numeri naturali è quindi P(0)=1, P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(6)=7, P(8)11, P(9)=15, P(10)=42. Come si può vedere il valore della funzione di partizione P(n) cresce molto in fretta al crescere di n: per il numero 100 è maggiore di 190.000.000 e tende rapidamente all'infinito (Per vedere la sequenza delle partizioni dei numeri fino a 10.000 clicca qui).
A prima vista la crescita non segue alcuno schema nè moltiplicativo nè additivo e per secoli i matematici hanno tentato di trovare un'equazione che permettesse di calcolare il valore di P(n) per qualunque intero n.
Ci aveva provato nel XVIII secolo Eulero, che era riuscito a mettere a punto un metodo di calcolo ricorsivo lento, complesso e inapplicabile a numeri grandi.

Giallo matematico
Nel XX secolo i matematici Ramanujan e Hardy svilupparono una formula che funziona abbastanza bene per numeri inferiori a 200, ma, contenendo la costante π, offre risultati approssimativi e con un numero infinito di decimali.
Nel 1919 Ramanujan, poco prima di morire, lasciò un misterioso appunto nel quale indicava una non meglio specificata schematicità secondo le potenze di 5, 7, 11 nella sequenza dei numeri di partizione.
Nel 1937 il tedesco Hans Rademacher riesce a sviluppare un'equazione che permette di calcolare l'esatto valore di partizione: peccato che per funzionare richieda di sommare infiniti numeri che hanno un numero infinito di decimali. "Sono numeri macabri" commenta Ono.

Lo schema del disordine
Ma dopo mesi di tentativi falliti Ken Ono e il suo team hanno trovato la chiave di lettura della misteriosa sequenza: i numeri di partizione si comportano come i frattali. In apparenza sono disordinati e senza alcuna congruenza, ma se analizzati a livello "micro" sono composti da schemi ordinati che si ripetono.
Le sequenze delle partizioni sono insomma periodiche e si ripetono identiche a intervalli precisi. Ramanujan aveva ragione e il segreto di questo schema è nelle proprietà di divisibilità dei numeri di partizione.
Ono e i suoi collaboratori si sono spinti oltre e grazie a una serie di intuizioni geniali sono riusciti a sviluppare una formula che permette di calcolare P(n) per ogni numero intero pari a n.
"I risultati di Ono sono sorprendenti" ha commentato George Andrews, presidente della American Mathematical Society. "Ha ideato una superstruttura matematica inimmaginabile fino a qualche anno fa. È un fenomeno"

Cui prodest?
Interessante ma... a cosa serve tutto questo? In realtà, oltre che essere un affascinante problema matematico, le partizioni hanno molte implicazioni in diverse aree dell'algebra, della fisica, della statistica, e dell'economia.

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20 Gennaio 2011