Quali caratteristiche ha il nastro di Moebius?

Tutte le superfici della geometria tradizionale sono bilaterali: hanno due facce, una superiore e una inferiore, o una interna e una esterna. Per passare da una faccia all’altra bisogna bucare la superficie o scavalcarne il margine.
Il nastro di Moebius è una superficie con una sola faccia. Si ottiene unendo le due estremità di un nastro di carta, ma dopo avergli dato mezzo giro di torsione, unendo cioè l’angolo destro di un lato con quello sinistro dell’altro, a differenza di quanto si fa per formare con un nastro un normale cilindro.
Punto di partenza. In questo modo si ottiene una superficie dalle proprietà particolari: per esempio, percorrendola come fanno le formiche nel disegno, ci si ritrova “sotto” il punto di partenza senza bisogno di bucare la carta o di sconfinare oltre il bordo. Così, volendo dipingere una sola faccia del nastro, si dipinge inevitabilmente anche l’altra. Questo non accade nelle normali superfici bilaterali, come il cilindro o la sfera, dove per passare da una parte all’altra occorre appunto attraversare la superficie. Inoltre tagliando un normale nastro cilindrico a metà, parallelamente alla base, si ottengono due nastri con uguale perimetro e metà altezza. Nel nastro di Moebius si ottiene invece un solo nastro di metà altezza e con il perimetro doppio rispetto a di quello iniziale.
Una nuova scienza. Lo studio del nastro di Moebius è stato molto importante per la storia della matematica e ha contribuito a porre le basi della scienza chiamata topologia. Questa è una branca della matematica che studia le proprietà delle superfici e dei volumi che non cambiano anche in seguito a deformazioni continue, che non prevedono cioè tagli, buchi o altre interruzioni della superficie. Per esempio, la superficie di un cubo si può deformare in modo continuo in quella di una sfera “gonfiandola” dall’interno. Invece per deformare un normale nastro cilindrico in un nastro di Moebius occorre interrompere la sua continuità: bisogna tagliarlo e rincollarlo scambiando destra e sinistra.