Scienze

Matematica curiosa e divertente

Nel numero di Focus in edicola a novembre c'è un servizio sulla matematica che presenta questa scienza sia negli aspetti storico e culturale sia in quello neurologico: se ogni epoca e ogni cultura...

Matematica curiosa e divertente

Nel numero di Focus in edicola a novembre c'è un servizio sulla matematica che presenta questa scienza sia negli aspetti storico e culturale sia in quello neurologico: se ogni epoca e ogni cultura hanno dato vita alla loro matematica, il senso del numero sembra infatti essere innato.

Ecco una persona che con la matematica si divertiva parecchio, cercando di rendere le sue dimostrazioni sempre più "belle".


In queste pagine vi mostriamo alcuni aspetti della matematica che ce la possano far capire meglio, che ci facciano comprendere il fascino di una disciplina che a volte può sembrare solo astrazione. Ed effettivamente essa è una costruzione molto fantasiosa, quando dà origine a "oggetti" come la bottiglia di Klein. Tuttavia la sua magia sta proprio nel fatto che i sogni dei matematici a volte si incontrino con la realtà. Il vecchio adagio galileiano "la natura è scritta nel linguaggio della matematica" è sempre valido, ed è quello che ci fa scoprire una teoria complessa come quella delle superfici minime in una... bolla di sapone! Un altro aspetto della matematica è la sfida intellettuale che pone. Se volete mettervi alla prova vi presentiamo il quesito che ha dato il via, secondo una leggenda, alla carriera matematica del francese Siméon-Denis Poisson. Se l'enigma non vi soddisfa e vi sembra troppo semplice, allora forse la matematica è il vostro forte: cercate un problema più difficile e provate a risolverlo. Attenzione, però, potreste imbattervi in un problema senza soluzione, come quello della quadratura del cerchio. Oppure potreste risolverne uno difficile quanto i problemi del Millennio e incassare una taglia di un milione di dollari.

Sommario
:: pag. 1 :: Matematica curiosa e divertente
:: pag. 2 :: Tre giare, cerchi quadratici e strane lapidi
:: pag. 3 :: Bottiglie che non reggono...
:: pag. 4 :: Bolle di sapone

Matematica pratica: il software
:: Water Jugs (il problema delle tre giare)
:: La bottiglia di Klein
:: Superfici minime

Tre giare, cerchi quadratici e strane lapidi

Per iniziare bene la serata non c'è niente di meglio di un buon bicchiere di vino. È tutto lì (il vino), in una damigiana da 8 litri, e per prendere la tua parte non devi fare altro che travasarne 4 litri e portarteli via. Ma non una goccia di più, e non una di meno...

The Water Jugs Problem (© Gary Darby, DelphiForFun.org): con questo software potete cercare la vostra soluzione al problema delle tre giare. Cliccate sull'immagine per ingrandirla e fate riferimento al riquadro nel testo per le istruzioni.


Una delle tante storie che si raccontano sui matematici vuole che Siméon-Denis Poisson si avvicinò e appassionò all'arte dei numeri grazie a una banale questione di travaso nota come "il problema delle tre giare". Una passione davvero prolifica: i suoi contributi hanno spaziato in diverse aree della matematica, dalla teoria delle probabilità fino al calcolo delle variazioni, dalla fisica all'astronomia. Una storia che potrebbe essere soltando leggenda, e tuttavia è uno degli innumerevoli esempi in cui un enigma diventa la molla che fa scattare la passione matematica.

Il problema delle tre giare

Il problema è semplice: ci sono tre contenitori senza tacche di livello, uno da 3 litri, uno da 5, uno da 8. Solo quest'ultimo è pieno: come dividere il "vino" in due parti uguali? Scaricate il software "Water Jugs" e provate! Ecco il poco che dovete sapere per usarlo.

1) Scaricate il software dal nostro sito. Poi non dovete installare nulla: basta un doppio clic per avviarlo.

Le impostazioni
Number of Jars è il numero delle giare: scegliete 3.
Jar Capacities, la capacità delle giare: scrivete 3, 5, 8.
Total water in all jars, il volume totale iniziale: scrivete 8.
Start, la distribuzione iniziale del liquido nelle giare:
scrivete 0-0-8.
Goal, l'obiettivo, ossia come volete distribuire il liquido: scrivete 0-4-4.
Reset, predispone il problema con le vostre impostazioni.
Show best solution move count with goals, selezionando questa opzione vedrete, nella casella "Goal", il numero minimo di mosse necessarie per raggiungere l'obiettivo.
Show me the solution, una scorciatoia...
Verbose, la spiegazione a passo a passo della soluzione.

Per giocare basta cliccare su un contenitore e poi su un altro per trasferire in quest'ultimo tutto il liquido che può contenere, o tutto il liquido che era nel primo contenitore. Se avete bisogno di un aiuto potete ricorrere alla "scorciatoia": il software risolve il problema per voi e vi mostrerà la soluzione nel riquadro (se non conoscete bene l'inglese, non usate l'opzione "Verbose": sarà più facile seguire la spiegazione).

IL SOFTWARE PER RISOLVERE L'ENIGMA DELLE TRE GIARE
Ci sono tre contenitori: uno da 3 litri, uno da 5 e uno da 8. Solo quest'ultimo è pieno, e l'obiettivo è quello di ottenere due parti da 4 litri. Provando e riprovando prima o poi ci si riesce, ma il problema è: l'hai fatto nel minor numero possibile di mosse? Vi lasciamo il piacere di provare questa particolare combinazione (e molte altre) grazie a un "giochino" da scaricare dal nostro sito. Il software non richiede poi nessuna installazione, ma è in inglese (immagine in alto), perciò nel riquadro qui a fianco vi diamo la traduzione dei comandi e qualche suggerimento.

La quadratura del cerchio
Nell'antica Grecia era molto popolare il problema della quadratura del cerchio: come costruire con riga e compasso il quadrato con area uguale a un cerchio. Se avete già giocato un po' con le tre giare sarete senz'altro d'accordo con noi: questo è un problema molto più complicato. Anzi, adesso sappiamo bene che non ha soluzione. I greci di quel tempo, però, ci perdevano il sonno: era tanto popolare che il commediografo Aristofane lo citò nella sua opera "Gli uccelli". Non solo: per indicare una persona "impegnata a fare altro" i greci avevano addirittura coniato un'espressione particolare, che equivaleva all'essere "occupati alla risoluzione della quadratura". E da questo si può capire che il problema non era riservato ai soli matematici, ma anzi era ampiamente condiviso da tutti. Tra i vari tentativi di soluzioene, il "più esatto" è il metodo proposto dall'oratore Antifonte, nel V secolo a.C.: in pratica, suggeriva di eguagliare l'area del cerchio inscrivendo poligoni regolari con molti lati. Altri particolari problemi geometrici affrontati dai matematici greci sono quelli della trisezione di un angolo e della duplicazione del cubo. Anch'essi non sono risolvibili col solo uso di riga e compasso, ma per il secondo, quello di riuscire a costruire un cubo con volume doppio di un cubo dato, sono state trovate varie soluzioni tridimensionali. Ad esempio, Archita di Taranto (430-360 a.C.) trovò una soluzione intersecando un cilindro, un cono e il cosiddetto "toro" (la superficie di una ciambella).

Indovinelli macabri
L'importanza del "problema" nello sviluppo della matematica è così grande che, fin dall'antichità, esistono libri che

SOMMARIO
pg. 1)
Matematica curiosa e divertente
pg. 2) Tre giare, cerchi quadratici e strane lapidi
pg. 3) Bottiglie che non reggono...
pg. 4) Bolle di sapone

SOFTWARE
:: Water Jugs
:: La bottiglia di Klein
:: Superfici minime

MATEMATICA CURIOSA E DIVERTENTE
contengono solo enigmi. Molto famoso nell'antica Cina era il Jiuzhang Suanshu, uno scritto sull'arte matematica che risale al 200 a.C.: qui si trovano raccolti 246 enigmi tra problemi di inseguimento (quando Tizio raggiungerà Caio, se Tizio corre a una velocità doppia di quella di Caio?), di giusta distribuzione (il padre ha lasciato una certa eredità, come distribuirla fra i figli), geometrici e via dicendo. Ancora dubbiosi sul ruolo dell'enigma in matematica? Riflettete allora su questo problema, molto curioso non tanto per la difficoltà, quanto per il fatto di essere stato inciso sulla tomba di un famoso matematico, e per suo stesso volere! La tomba era di Diofanto e l'epitaffio-problema è il seguente: "Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l'infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell'adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L'infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell'età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita." Provate a fare due conti... e scrivete la soluzione qui, nell'area dei commenti di questa pagina.

La fama, la ricchezza o...
Avete già trovato l'età di Diofanto? Allora preparatevi, qui c'è molto di più. Perché anche ai giorni nostri il fascino degli enigmi rimane immutato: addirittura, nel 2000, su sei grandi problemi ancora irrisolti è messa una "taglia" da un milione di dollari l'uno (per informazioni... Clay Institute of Mathematics, www.claymath.org). Incredibilmente, uno matematico russo, Grigori Perelman, ne ha risolto uno, noto come "la congettura di Poincaré". E altrettanto incredibilmente ha rifiutato il premio. Le malelingue dell'ambiente si sono scatenate, insinuando che col suo rifiuto Perelman evitava il contradditorio e il "rischio" di dover dividere il merito della dimostrazione con altri matematici. Di altro avviso lo scienziato russo Mikhail Gromov: "Il vero studioso è interessato solo alla scienza e non ha bisogno di altro"... Chi avrà ragione? (Attenzione, questo non è un nuovo "problema del millennio"!)

Bottiglie che non reggono...

Nel 1882 un matematico tedesco affascinato dal nastro di Moebius s'immaginò di poter torcere su se stesso un cilindro, anziché un semplice nastro. Gli mancava però una dimensione, la quarta...

Il software per giocare con una superficie quadri-dimensionale.

La bottiglia di Klein è una "brutta bestia". Non doveva chiamarsi bottiglia, tanto per cominciare: per il matematico tedesco Felix Klein era una superficie, ma pare che un cattivo traduttore abbia fatto il danno e l'errore le sia poi rimasto incollato addosso. E poi, non ha bordi, non ha un "dentro" e neppure un "fuori", che razza di bottiglia sarebbe, questa? Descriverla... si può, naturalmente, con le parole della matematica: una superficie non orientabile compatta. Questa definizione lapidaria (e sorprendemente semplice) viene dal Gruppo Grafmat dell'Università di Cagliari. Purtroppo, non aiuta granché a "capire" le proprietà dell'oggetto. Servirebbe una foto, ma questo è impossibile: la vera superficie di Klein può esistere solamente in uno spazio a 4 dimensioni! Tutto quello che potete vedere a 3 dimensioni (come la foto a lato) o a due dimensioni (foto grande) sono pallide imitazioni: perché la bottiglia, quella vera, si interseca senza toccarsi!

Una falsa bottiglia di Klein: questa ha tre dimensioni, non quattro, e per intersecarsi deve per forza... toccarsi.
L'animazione della bottiglia
Per darvi l'idea di quello che è questo oggetto abbiamo scovato un cosiddetto "applet", ossia un software che potete usare via Internet, dal nostro sito, senza scaricarlo: lo trovate a questo link. Qui vi diciamo come usare i comandi di questa applicazione, perché sono in inglese e, per di più, in "matematica".
Questo applet permette di visualizzare e modificare diverse superfici, come il toro, il nastro di Moebius (parente della bottiglia di Klein) e la stessa bottiglia di Klein, selezionandole dal menu a tendina in alto a destra. Cliccando sulla superficie e trascinando il mouse si può ruotare la figura per vederla da ogni angolazione. Sulla destra si trovano alcuni comandi che permettono di scoprire come sia stata costruita la superficie. Per esempio, modificando il parametro "how to build" (l'ultimo in basso) da 0 fino a 1, vediamo come tirando e piegando un rettangolo si sia ottenuta la forma finale. I parametri "u-min", "u-max", "v-min" e "v-max" determinano invece la dimensione della forma di partenza (un rettangolo). Aumentando "u-lines" e "v-lines", la figura diventa meno spigolosa: un maggior numero di rettangoli viene infatti impiegato per rappresentare la bottiglia. I parametri "Body Width", "Handle Width" e "Handle Radius" permettono di modificare rispettivamente le dimensioni della pancia della bottiglia, la larghezza del manico-collo e la sua strozzatura. Il comando "Moebius Strip", infine, ci permette di ottenere la bottiglia di Klein "tirando" un nastro di Moebius.


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Le bolle di sapone: gioco e matematica
È difficile non rimanere affascinati dalle forme eleganti e magiche che assumono queste costruzioni "fragili e delicate come sogni". E dire che il segreto di questa magia si trova nelle equazioni matematiche che la descrivono.

Davanti a questo spettacolo è difficile pensare a un'equazione matematica. A meno di non essere un matematico.


Ai bambini le bolle di sapone piacciono da sempre, perché sono colorate e volano. I matematici, invece, ne sono affascinati perché sanno che queste semplici strutture risolvono spontaneamente un problema geometrico semplice da formulare e molto difficile da risolvere: quello delle superfici di area minima. Le lamine di acqua saponata sono, infatti, tra tutte le superfici possibili che si appoggiano a una linea chiusa (per esempio un filo di ferro chiuso), quelle che hanno la superficie più piccola possibile, perché rispondono a un principio di economia universale secondo il quale, in natura, avviene sempre ciò che porta al minimo dispendio di energia. Questo principio non si limita alle bolle di sapone. Lo ritroviamo nella struttura microscopica dei cristalli, ma anche in alcune recenti costruzioni architettoniche che utilizzano, come modelli, proprio le bolle di sapone.

A questo indirizzo web potete vedere l'animazione di una catenoide (una lamina saponata che si appoggia a due anelli) che si trasforma in un'elicoide (una lamina che, invece, si appoggia a una spirale). Attenzione, aprendo il link può succedere che il pannello di controllo dell'animazione resti nascosto dalla finestra dell'animazione stessa: se non vedete i comandi, spostate la finestra principale. È possibile ruotare la figura e osservare l'animazione da diverse angolazioni cliccando e trascinando il mouse. Premendo i tasti "Ctrl+a" aprite il menu dei comandi per modificare le diverse opzioni: "One Way" mostra l'animazione una sola volta, "Loop" la esegue in modo continuo, "Back/Forth" alterna la riproduzione avanti e indietro senza fermarsi. Si può selezionare un istante preciso modificando il valore di "Time": per esempio, negli istanti 0, 360, 720 la superficie è una catenoide; negli istanti 180, 540 è un'elicoide.

SUPERFICI MINIME
Anche i computer fanno le bolle
Gli studi sulle superfici minime iniziano nel XVIII secolo con la scoperta del matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) della prima superficie minima: la catenoide, una superficie generata dalla rotazione della catenaria, la curva descritta da una catenella appesa a due chiodi. Nel secolo successivo il fisico Joseph Plateau (1801-1883) iniziò a studiare le bolle di sapone e fece misurazioni ed esperimenti sulla loro struttura formulando, tra le altre, anche ipotesi matematiche tuttora da verificare. Plateau si interessò, in particolare, a una questione posta dal matematico francese Joseph Louis Lagrange (1736-1813) un secolo prima: per ogni curva chiusa dello spazio, esiste una superficie minima di cui quella curva è il bordo? Il quesito, noto come "il problema di Plateau" rimase senza risposta fino al 1930. Negli anni '60 del '900, tra l'altro, le bolle di sapone sono state studiate dai due più grandi matematici italiani degli ultimi 50 anni, Ennio De Giorgi (1928-1996) ed Enrico Bombieri (1940-), che hanno dato una risposta definitiva al problema di dimostrare la regolarità delle superfici minime (cioè il fatto che si tratta in genere di superfici lisce e senza spigoli). Anche per questi studi, tra l'altro, Enrico Bombieri ha vinto la prestigiosa medaglia Fields, il Nobel dei matematici, ed è stato finora l'unico italiano a ottenere questo riconoscimento. Recentemente il computer e la computer graphics hanno avuto un ruolo importante nello studio delle superfici minime, perché - come tutti sanno - le pellicole di sapone sono piuttosto instabili e perciò difficili da studiare in dettaglio. I computer, invece, riescono a generare "pellicole di sapone" perfette e perfettamente stabili...

Lo stadio di Monaco: le coperture si ispirano alle "superfici minime".
In natura e in architettura

Esistono particolari superfici minime "periodiche": la loro struttura si ripete in modo regolare nello spazio. È stato scoperto che alcuni cristalli, per esempio gli zeoliti, hanno questo tipo di architettura. Essi sono formati da una "armatura" di silicio, alluminio e atomi di ossigeno in cui è presente acqua cristallizzata. E in un particolare zeolite, la sodalite, possiamo trovare la superficie minima P, teorizzata dal matematico tedesco Hermann Schwarz (1843-1921) nel 1865. Non solo la struttura dei cristalli, ma anche quella di alcune costruzioni si ispira alle superfici minime. Un architetto tedesco, Otto Frei, ha pensato infatti di ispirarsi a queste per alcune strutture, come, ad esempio, la copertura dello stadio di Monaco per le Olimpiadi del 1972. Queste costruzioni risultano equilibrate e molto leggere, forse non quanto le bolle sapone a cui si ispirano, ma abbastanza da garantire un effettivo risparmio sulla quantità di materiali usata. L'architetto riproduce, in questo modo, la capacità della natura di economizzare le risorse impiegate: una lezione di matematica, ma anche di ecologia.


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10 novembre 2007
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