La solitudine statistica dei numeri primi

I numeri primi sono elementi fondamentali della teoria dei numeri: ogni altro numero naturale è composto e può essere "costruito" moltiplicando due o più numeri primi tra loro. I matematici, fino ad oggi, non sono mai riusciti a trovare uno schema di ricorrenza dei primi: sembra che non sia possibile stabilire a priori se un numero (dispari) sia primo o meno in base alla sua posizione sulla linea dei numeri.

Un numero naturale, maggiore di 1, si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l'unità.

Questo assunto è stato però recentemente messo in discussione da Kannan Soundararajan e Robert Lemke Oliver, dell’università di Stanford (Usa), che sostengono di aver trovato una sorta di schema nella distribuzione dei numeri primi.

Random, a chi? I numeri primi terminano tutti con 1, 3, 7 o 9 e secondo le teorie comunemente accettate la loro distribuzione è ugualmente probabile. Soundararajan e Lemke Oliver hanno però notato che raramente un numero primo terminante con “1” (per esempio 11) è seguito da un altro numero primo che termina con la stessa cifra. Se la distribuzione dei primi fosse veramente casuale, ciò non dovrebbe accadere.

I due matematici hanno analizzato il primo milione di numeri primi e hanno osservato che un primo terminante con “1” è seguito da un altro primo terminante con “1” solo nel 18,5% dei casi: con una distribuzione casuale ci si dovrebbe aspettare un valore molto prossimo al 25%.

I primi che terminano con 3 o 7 seguono l’1 nel 30% dei casi, mentre quelli che finiscono con 9 - sempre dopo l'1 - sono il 22%.

Soundararajan e Lemke Oliver hanno analizzato la distribuzione dei numeri primi anche in altri sistemi numerici, quelli che utilizzano basi diverse dal 10, ritrovando gli stessi schemi: sembra perciò che questa sia una caratteristica peculiare dei numeri primi.

Provalo! La teoria di Soundararajan e Lemke Oliver è dimostrabile? Lo sarebbe... se fosse dimostrabile la teoria di Hardy e Littlewood, due matematici che all’inizio del XX secolo lavorarono a lungo sulla distribuzione di coppie, triplette e gruppi più grandi di numeri primi.

Secondo Hardy e Littlewood alcune sequenze di numeri primi non possono manifestarsi, e questo renderebbe altre sequenze più probabili. Per esempio, dato che due numeri consecutivi, "n" e "n+1" (per n maggiore o uguale a 3) non possono essere entrambi primi, è statisticamente più probabile che n+2 sia primo rispetto a quando suggerito da una distribuzione casuale.

Non per caso. Giocando con questa teoria Soundararajan e Oliver arrivano a concludere che due numeri primi consecutivi che terminano con la stessa cifra sono più rari di quanto una distribuzione casuale vorrebbe.
«Ciò che conosciamo dei numeri primi è davvero poco», ammette Lemke Oliver, «e non ho idea di come si possa provare la nostra intuizione senza dimostrare la teoria di Hardy e Littlewood.»

Effetti pratici. E poi ci sono i paradossi: senza scomodare Hardy e Littlewood, i matematici sono riusciti a dimostrare che i numeri primi terminanti con 1-1, 3-3, 7-7 e 9-9 si manifestano infinitamente spesso, ma non sono in grado di farlo per altre coppie.

«In modo un po’ perverso, secondo le nostre osservazioni, le altre coppie di combinazioni dovrebbero essere meno probabili», aggiunge Lemke Oliver.

Per quanto impegnativo, lo studio dei numeri primi non è solamente un hobby per matematici un po' "fissati", ma ha implicazioni concrete. La crittografia dei dati, per esempio, e molte applicazioni informatiche che più o meno consapevolmente utilizziamo ogni giorno fanno ampio ricorso ai numeri primi e alle loro proprietà.