Scienze

La solitudine statistica dei numeri primi

Prima d'ora non è mai stato identificato uno schema di ricorrenza dei numeri primi: adesso due matematici di Stanford ritengono di avere indizi per affermare che una regola c'è.

I numeri primi sono elementi fondamentali della teoria dei numeri: ogni altro numero naturale è composto e può essere "costruito" moltiplicando due o più numeri primi tra loro. I matematici, fino ad oggi, non sono mai riusciti a trovare uno schema di ricorrenza dei primi: sembra che non sia possibile stabilire a priori se un numero (dispari) sia primo o meno in base alla sua posizione sulla linea dei numeri.

Un numero naturale, maggiore di 1, si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l'unità.

Questo assunto è stato però recentemente messo in discussione da Kannan Soundararajan e Robert Lemke Oliver, dell’università di Stanford (Usa), che sostengono di aver trovato una sorta di schema nella distribuzione dei numeri primi.

Random, a chi? I numeri primi terminano tutti con 1, 3, 7 o 9 e secondo le teorie comunemente accettate la loro distribuzione è ugualmente probabile. Soundararajan e Lemke Oliver hanno però notato che raramente un numero primo terminante con “1” (per esempio 11) è seguito da un altro numero primo che termina con la stessa cifra. Se la distribuzione dei primi fosse veramente casuale, ciò non dovrebbe accadere.

I due matematici hanno analizzato il primo milione di numeri primi e hanno osservato che un primo terminante con “1” è seguito da un altro primo terminante con “1” solo nel 18,5% dei casi: con una distribuzione casuale ci si dovrebbe aspettare un valore molto prossimo al 25%.

I primi che terminano con 3 o 7 seguono l’1 nel 30% dei casi, mentre quelli che finiscono con 9 - sempre dopo l'1 - sono il 22%.

Soundararajan e Lemke Oliver hanno analizzato la distribuzione dei numeri primi anche in altri sistemi numerici, quelli che utilizzano basi diverse dal 10, ritrovando gli stessi schemi: sembra perciò che questa sia una caratteristica peculiare dei numeri primi.


Provalo! La teoria di Soundararajan e Lemke Oliver è dimostrabile? Lo sarebbe... se fosse dimostrabile la teoria di Hardy e Littlewood, due matematici che all’inizio del XX secolo lavorarono a lungo sulla distribuzione di coppie, triplette e gruppi più grandi di numeri primi.


Secondo Hardy e Littlewood alcune sequenze di numeri primi non possono manifestarsi, e questo renderebbe altre sequenze più probabili. Per esempio, dato che due numeri consecutivi, "n" e "n+1" (per n maggiore o uguale a 3) non possono essere entrambi primi, è statisticamente più probabile che n+2 sia primo rispetto a quando suggerito da una distribuzione casuale.

Non per caso. Giocando con questa teoria Soundararajan e Oliver arrivano a concludere che due numeri primi consecutivi che terminano con la stessa cifra sono più rari di quanto una distribuzione casuale vorrebbe.
«Ciò che conosciamo dei numeri primi è davvero poco», ammette Lemke Oliver, «e non ho idea di come si possa provare la nostra intuizione senza dimostrare la teoria di Hardy e Littlewood.»

Effetti pratici. E poi ci sono i paradossi: senza scomodare Hardy e Littlewood, i matematici sono riusciti a dimostrare che i numeri primi terminanti con 1-1, 3-3, 7-7 e 9-9 si manifestano infinitamente spesso, ma non sono in grado di farlo per altre coppie.

«In modo un po’ perverso, secondo le nostre osservazioni, le altre coppie di combinazioni dovrebbero essere meno probabili», aggiunge Lemke Oliver.

Per quanto impegnativo, lo studio dei numeri primi non è solamente un hobby per matematici un po' "fissati", ma ha implicazioni concrete. La crittografia dei dati, per esempio, e molte applicazioni informatiche che più o meno consapevolmente utilizziamo ogni giorno fanno ampio ricorso ai numeri primi e alle loro proprietà.

17 marzo 2016 Rebecca Mantovani
Ora in Edicola
Scopri il mondo Focus. Ogni mese in edicola potrai scegliere la rivista che più di appassiona. Focus il magazine di divulgazione scientifica più letto in Italia, Focus Storia per conoscere la storia in modo nuovo ed avvincente e Focus Domande & Risposte per chi ama l'intrattenimento curioso e intelligente.

Focus Storia torna con un nuovo numero ricco di approfondimenti appassionanti. Questo mese, uno speciale dedicato al fallito attentato a Hitler del 20 luglio 1944. Scopri come Claus von Stauffenberg pianificò l'Operazione Valchiria, la spietata rappresaglia che ne seguì e gli incredibili colpi di fortuna che salvarono il Führer da 40 attentati.

Esaminiamo anche come Stalin riuscì a sopravvivere ai numerosi tentativi di eliminarlo e i rischi corsi da Mussolini.

Esploriamo poi le grandi imprese come la conquista del K2, la spedizione che scalò la seconda cima più alta del mondo e la storia delle crociere con “E il navigar m’è dolce”, tra balli, sport, cibo e divertimento.

Raccontiamo la Grande Guerra attraverso le cartoline dell’epoca e vi diamo un'anteprima di una bella mostra a Buckingham Palace con le foto private dei reali.

Approfondiamo la storia del servizio di leva e delle Olimpiadi antiche, e rivivi l'epoca d'oro della televisione italiana con Corrado.

Non perdere questo numero di Focus Storia!

ABBONATI A 29,90€

Focus torna con un nuovo numero ricco di spunti e approfondimenti. Questo mese, ci immergeremo nel complesso mondo delle relazioni amorose, esplorando le basi scientifiche che le rendono durature e felici.

Cosa rende un amore duraturo? Quali sono i segreti delle coppie che superano le sfide del tempo? Focus risponde a queste domande svelando i meccanismi ormonali e fisiologici dei legami più solidi. Scopri il tuo profilo di coppia con un test utile e divertente per comprendere meglio la tua relazione.

Esploriamo anche il mondo della scienza e della tecnologia, dall'internet quantistica all'atomtronica, celebriamo il centenario dei planetari e scopriamo i segreti dell'alpinismo estremo.

Non perdere questo numero di Focus: conoscenza, passione e scoperta ti aspettano in ogni pagina!

ABBONATI A 31,90€
Follow us