Il più grande numero primo mai scoperto finora è 274.207.281 - 1: ha oltre 22 milioni di cifre ed è stato calcolato da un computer della University of Central Missouri, che ha infranto un precedente record del 2013, quando fu individuato un numero primo più corto di 5 milioni di cifre.
Un breve ripasso. In matematica, si definisce numero primo un numero intero positivo che sia divisibile solamente per 1 e per se stesso. Per esempio, da 1 a 10, rientrano in questa categoria 2, 3, 5 e 7, ma andando avanti nella successione ne esistono di infiniti: la ricerca di numeri primi di grandezza crescente non ha particolari implicazioni pratiche, se non quella di testare la potenza di calcolo di un processore.
Un gigante un po' solo. Il numero da record conta per la precisione 22.338.618 cifre. La sua paternità è da attribuire a Curtis Cooper, professore di informatica particolarmente esperto in materia: nel 2013 era stato sempre lui a stabilire il precedente primato, un numero primo composto "solo" da 17 milioni di cifre.
A occhio e croce. I numeri non sarebbero una costruzione culturale, ma incarnati nelle proprietà fisiche del nostro cervello e in quello di molti altri animali. È la conclusione cui stanno giungendo sempre più numerosi studi di neurobiologia.
Osservazioni condotte su vari animali, dalle rane ai pulcini, dalle scimmie ai pappagalli, rendono sempre più evidente l'esistenza di un senso del numero innato: quello che per esempio ci consente di valutare se la fusione di due stormi di uccelli all'orizzonte darà luogo a uno più grande o più piccolo rispetto a un terzo stormo. Questo senso del numero avrebbe avuto una grande importanza nella storia evolutiva e nella lotta per la sopravvivenza. Anche popoli che non hanno elaborato un sistema formale e simbolico di matematica, per esempio alcune tribù amazzoniche che hanno solo le parole per contare fino a cinque, sono in grado di stimare le grandezze al pari di un occidentale.
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Anche i leoni contano. Uno studio effettuato nel parco nazionale del Serengeti, in Tanzania, ha mostrato come le leonesse, che si organizzano in branchi per vari scopi, tra cui la difesa del territorio, decidono se reagire o no all'intrusione di un branco avversario in base al numero di invasori da cui è composto. Grazie al senso del numero riuscirebbero a fare una stima numerica degli avversari non solo su base visiva, ma anche dai versi e dai ruggiti che sentono. Più sono le leonesse amiche e meno le nemiche (stimate in base ai ruggiti) più aumenta la probabilità di reazione del gruppo.
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Piccole probabilità. Perfino i bambini di pochi mesi sarebbero dotati di un'innata capacità di fare stime probabilistiche. In un esperimento recente, un gruppo di psicologi cognitivi ha presentato a bambini di un anno un'urna sferica, con un'apertura sul fondo, contenente tre palline gialle e una blu. I bimbi guardavano la scena più a lungo, dimostrandosi "sorpresi", quando dall'urna usciva la pallina blu (evento più improbabile) rispetto a quando usciva quella gialla.
Nonostante questa intuizione precoce, però, fino a cinque-sei anni i bambini non sono in grado di fare previsioni probalistiche esplicite. In età da asilo, e prima di qualunque apprendimento formale di matematica, sono però in grado - secondo altri studi - di fare stime corrette di somme di quantità numeriche.
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Aritmetica intuitiva. A dimostrare che linguaggio e cultura non sono essenziali per alcune forme elementari di calcolo c'è anche uno studio condotto presso alcune popolazioni indigene, come i Kaqchikel del Guatemala (nella foto). Individui adulti e privi di istruzione sanno fare stime di probabilità e proporzioni tanto correttamente quanto bambini occidentali che hanno ricevuto un'istruzione scolastica formale.
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I numeri in testa. Gli scienziati hanno individuato neuroni localizzati nel lobo parietale che rispondono in modo selettivo alla numerosità degli stimoli. Sono la radice biologica del senso del numero?
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La biologia dei numeri reali. Nel corso dei millenni la matematica è diventata sempre più generale e astratta, sempre più potente e raffinata. L'avvio di questa evoluzione culturale è stata la scoperta dei numeri reali, ossia i numeri che possono essere seguiti da una serie finita o infinita di decimali. Ma alla base di questo complesso concetto potrebbe esserci - secondo la neurobiologia del numero - proprio la struttura del nostro sistema nervoso: in grado di rappresentare quantità discrete (insiemi di oggetti che si possono contare) solo in misura imprecisa e approssimativa.
Superdotati. Oltre a un senso del numero che consente agli uomini e a molti animali di fare stime in modo approssimativo, sembra che per piccole quantità (fino a 3-4 elementi) sia all'opera un meccanismo, probabilmente basato sulla memoria e l'attenzione, che ci consente di fare calcoli esatti. Può esistere analogo meccanismo per quantità più numerose?
Il neurologo e scrittore Oliver Sacks ha raccontato il caso di due gemelli autistici che potevano calcolare a colpo d'occhio il numero di fiammiferi rovesciati da una scatola. E queste capacità eccezionali sono state riferite altre volte. Secondo l'ipotesi di alcuni autori questi individui non sarebbero capaci di contare a colpo d'occhio quantità molto numerose, ma sarebbero più bravi a usare strategie percettive per fare una stima delle quantità.
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Innaturale come lo zero. Quello che non c'è non può esser contato, si legge nella Bibbia. La notazione simbolica dello zero è stata introdotta tardi nella storia della matematica: i primi a impiegarlo come un numero alla stregua di tutti gli altri sono stati i matematici indiani tra il terzo e il sesto secolo d.C.
Anche i bambini hanno difficoltà a sviluppare il concetto di zero: forse perché, a differenza dei numeri interi che rappresentano entità concrete, lo zero ha poca utilità nella vita quotidiana. È un simbolo sofisticato che non ha corrispettivi immediati nel cervello.
Numeri in fila. Sembra che ci siano anche neuroni specifici per l'aspetto ordinale del numero. Esisterebbe una retta numerica mentale su cui ci rappresentiamo i numeri: le quantità più piccole, come diversi esperimenti dimostrano, sarebbero rappresentate a sinistra, le più grandi a destra. Questo modo di rappresentare i numeri non sarebbe determinato da fattori culturali, come il fatto che scriviamo e leggiamo da sinistra a destra, ma sarebbe innato.
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Vertici del pensiero. Come si è passati dalla matematica innata, non verbale, approssimata con il senso del numero che condividiamo con gli animali, al sistema altamente complesso della matematica formale e simbolica?
C'è chi nega che vi siano relazioni tra le due. Altri studi farebbero però pensare il contrario: chi ha un senso del numero più spiccato sembra anche più dotato in matematica a scuola. Il senso del numero costituisce il fondamento della matematica formale? È una questione ancora irrisolta, ma varie ricerche farebbero propendere per il sì.
Nella foto: una tavola sulla trigonometria dall'Enciclopedia di Diderot e D'Alembert.
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Matematica in culla. Se, come sembra, le capacità matematiche, tra cui quella di contare, identificare i numeri, e fare alcuni calcoli elementari, sono basate sul senso del numero, si potrebbe pensare di partire da questa capacità innata, facendo fare esercizio fin da piccolissimi, per sviluppare le competenze matematiche e facilitare l'apprendimento a scuola. È un filone di ricerca aperto.
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Caccia globale. Il nuovo mostro matematico è stato scoperto nell'ambito del GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) un progetto finalizzato alla scoperta di numeri primi di Mersenne, ovvero numeri primi nella forma 2p -1 (p è a sua volta un numero primo). Lanciato nel 1996, il GIMPS coinvolge liberamente computer di tutto il mondo e fa affidamento su un software disponibile per diversi sistemi operativi, tra cui Linux, Mac OS X e Microsoft Windows.
A oggi il progetto ha permesso di identificare 15 numeri di Mersenne, su un totale di 49 conosciuti. Ogni scoperta viene ricompensata con un premio in denaro di 3mila dollari statunitensi.
Verso l'infinito (e oltre). Un incentivo alla ricerca arriva inoltre dall'organizzazione internazionale non profit Electronic Frontier Foundation, che offre 150mila e 250mila dollari a chi per primo riuscirà a trovare dei numeri primi rispettivamente di cento milioni e un miliardo di cifre.
Il Pi greco permea la nostra esistenza, ben oltre i problemi di geometria a scuola, dove è conosciuto come il rapporto fra la circonferenza e il diametro del cerchio (o l'area di un cerchio di raggio uguale a 1).
Dall'elettromagnetismo alla meccanica quantistica, il Pi greco investe molti settori. Ad esempio ha a che fare con il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, entra in campo nel periodo di oscillazione del pendolo (che è proporzionale al nostro numero irrazionale), così come nella forza di Coulomb tra due oggetti carichi elettricamente.
Ma la storia del Pi greco ha circa 4mila anni. Furono i Babilonesi, grandi matematici e architetti, i primi a impiegarlo, interpretandolo come 3,125.
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Poi vennero gli Egizi. In un papiro egizio del XVII sec. a. C. era approssimato a 3,1605.
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I Greci usavano poligoni tangenti internamente ed esternamente a un cerchio, ovvero rispettivamente inscritti e circoscritti (vedi grafico sopra). La lunghezza di una circonferenza e infatti necessariamente compresa fra un limite superiore e uno inferiore, rappresentati rispettivamente dal perimetro del poligono esterno, leggermente maggiore, e quello interno, di poco minore. Quanti più lati ha un poligono, tanto più precisa e la sua approssimazione al cerchio, e di conseguenza tanto maggiore e la precisione con cui si può ricavare il numero che lega la circonferenza al suo diametro. Archimede di Siracusa (287- 212 a.C.) usò poligoni con 96 lati. La sua conclusione fu che il numero del cerchio doveva essere più piccolo di 3+(1/7) ma più grande di 3+(10/71). Rappresentare con un numero decimale il valore intermedio tra i due non era ancora alla portata dei Greci, ma il risultato sarebbe stato 3,1419. Ha tre cifre corrette dopo la virgola, e si discosta solo dell’1% dal valore di oggi.
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Nei secoli successivi i miglioramenti nell’approssimazione non furono particolarmente significativi. Un grande balzo riuscì a due astronomi cinesi del V secolo, Tsu Chung Chi (nel francobollo della foro in alto) e suo figlio Tsu Keng Chi, i quali trovarono come valore approssimato di Pi greco la frazione 355/113, da cui si ottiene il risultato arrotondato 3,1415929. Tramite poligoni con oltre 20mila lati giunsero a una valutazione di π che si discosta solo di una parte su un miliardo dal valore corretto: un record destinato a rimanere insuperato per quasi mille anni.
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A partire dal XVI secolo anche molti matematici europei moltiplicarono i propri sforzi per meglio approssimare il Pi greco. Ludolph van Ceulen (1539-1610, nella foto) vi dedico 30 anni della sua vita. Calcolo il perimetro di poligoni con ben 4,6 miliardi di miliardi di lati e in tal modo riuscì a determinare 35 cifre decimali di π.
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Il record di calcolo manuale fu pero stabilito nel 1946 da un tal D. F. Ferguson, che arrivò a 620 cifre decimali. Poi arrivarono i computer.
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Ma perché tanto accanimento per un calcolo del genere? «La matematica e il modo perfetto per prendersi in giro» ha detto Albert Einstein, il grande bastian contrario, il cui anniversario della nascita ricorre il 14 marzo (come i fan del Pi greco non mancano di ricordare).
Dieci cifre di π dopo la virgola sono già sufficienti a determinare il raggio terrestre con la precisione di un millimetro.
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Il record mondiale (non ufficiale) della “disciplina” di ricordare a memoria e declamare a voce alta i numeri decimali del Pi greco è stato raggiunto al giapponese Akira Haraguchi, nella foto, che ha recitato 100mila cifre in 16 ore.
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Il numero π è ciò che i matematici chiamano “normale”? Si può dire, cioè, che la successione dei suoi decimali sia completamente casuale, oppure da qualche parte fra i miliardi di cifre si nascondono imprevedibili regolarità? Al 762° decimale compare per esempio la sequenza 999999. Come si può escludere che sia un frammento di distribuzione regolare di cifre fino a ora inosservata?
Sommando le prime 20 cifre dopo la virgola si ottiene come risultato 100. Sommando le prime 144 si ottiene 666, ma 144 e il quadrato di 12, ovvero (6+6)×(6+6).
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L’altezza di un elefante dal suolo alla spalla si può determinare moltiplicando per 2π il diametro di una sua zampa.
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