Scienze

Un matematico ha risolto dopo 45 anni una congettura sul nastro di Moebius

Qual è la dimensione minima della striscia di carta necessaria a creare un nastro di Moebius senza generare le cosiddette "auto-intersezioni"? Abbiamo la risposta!

Il nastro di Moebius è una figura tridimensionale caratterizzata dall'avere un solo lato. Visualizzarla è un gioco da ragazzi: occorre immaginare una striscia di carta i cui estremi vengono uniti dopo averne fatto ruotare uno di 180°. In questo modo si crea una superficie pressoché infinita, il cui lato interno è al contempo il lato esterno, e viceversa. Tale particolare superficie è detta "non orientabile", e fu scoperta nel XIX secolo dallo scienziato tedesco August Ferdinand Moebius. Se dal punto di vista filosofico e artistico ha ispirato suggestioni e opere (tra le più note quelle dell'olandese Maurits Cornelis Escher), dal punto di vista scientifico, la figura in questione è stata oggetto di un quesito irrisolto.

Rapporto standard. Il problema – noto come congettura di Halpern-Weaver – riguardava la dimensione minima della striscia di carta necessaria a creare un nastro di Moebius senza che si generassero auto-intersezioni, ossia senza che i bordi si intersecassero tra loro nel ripiegarsi. A risolverlo è stato Richard Evan Schwartz, un matematico della Brown University di Providence (Rhode Island, Stati Uniti) che è riuscito a dimostrare come tale striscia di carta debba avere un rapporto tra lunghezza e larghezza maggiore di √3 (circa 1,73). Ciò significa, per esempio, che se la larghezza della striscia è di 1 centimetro, la lunghezza deve essere di poco superiore a 1,73 centimetri; se di 2 centimetri, di poco oltre due volte la radice quadrata di 3 (3,46 centimetri).

Soluzione creativa. Quando nel 1977 i matematici Benjamin Rigler Halpern e Charles Sidney Weaver sollevarono il problema, notarono che questo sarebbe stato di facile soluzione se si fosse concesso al nastro di Moebius di avere auto-intersezioni. Restava perciò da stabilire quanto spazio servisse per evitarle. Se si utilizza un approccio standard, è difficile descrivere con le formule tale visione, ed è per questo che Schwartz ha fatto ricorso a una soluzione creativa, suddividendo il problema in pezzi gestibili, ciascuno dei quali veniva risolto con l'uso della sola geometria. Per prima cosa, Il matematico ha scomposto la superficie mediante il disegno di linee rette che si intersecavano perpendicolarmente con il bordo. Il passo successivo richiedeva che il nastro venisse aperto con un angolo inferiore ai 90° lungo un segmento che attraversasse tutta la larghezza della striscia, al fine di scoprire la forma che ne derivava.

Eureka! Nel 2021 Schwartz giunse vicino alla soluzione, ma un piccolo errore in un lemma – ossia un passaggio intermedio della sua dimostrazione – lo ha bloccato fino allo scorso agosto, quando si è reso conto che la figura risultante dal taglio non doveva essere un parallelogramma, bensì un trapezio.

Basandosi su questa intuizione, gli sono bastati tre giorni per trovare il numero che cercava, ponendo fine a un problema che aveva impegnato diversi colleghi nell'arco di cinque decenni. Il prossimo passo? Dimostrare quale sia la minore lunghezza ammissibile per realizzare un nastro complesso, ossia generato da più di tre torsioni.

17 novembre 2023 Simone Valtieri
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