Che cos’è la bottiglia di Klein?

La bottiglia di Klein è una particolare figura geometrica non orientabile, nella quale cioè non si può individuare un sopra e un sotto, un esterno e un interno. Questo implica che sulla bottiglia di Klein, come sul nastro di Moebius, si può passare dalla “faccia interna” a quella “esterna” senza bucare la superficie o scavalcare l’orlo. Diversamente dal nastro di Moebius, la bottiglia di Klein non è facilmente visualizzabile, perché è rappresentabile solo in spazi che abbiano almeno quattro dimensioni, una in più rispetto all’unico tipo di spazio di cui abbiamo esperienza, cioè quello tridimensionale. La bottiglia di Klein è un’importante figura della topologia, una branca della matematica che studia le proprietà di classi di figure trasformabili l’una nell’altra in seguito a deformazioni continue, che non prevedono cioè tagli o interruzioni della superficie: per esempio, un cubo si può “gonfiare” in una sfera, ma non in una bottiglia di Klein. Felix Klein, il matematico tedesco che la immaginò, studiò a lungo come particolari trasformazioni spaziali mutano una figura geometrica in un’altra.