Che cosa enuncia il teorema di incompletezza sintattica?

Nel 1931 l’americano di origine austroungarica Kurt Gödel (foto) pubblicò “Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia mathematica e di sistemi affini”, dove enunciava quello che sarebbe diventato noto come teorema di Gödel. Il teorema dimostra l’incompletezza sintattica dei sistemi assiomatici matematici, cioè l’impossibilità di dimostrare alcune proposizioni e il loro contrario dall’interno del sistema. Gödel dimostrò in pratica che un sistema matematico, cioè un insieme di assiomi (proposizioni di partenza) e dei teoremi da essi derivati, non può essere allo stesso tempo completo e corretto. In altre parole un sistema matematico che non contiene errori deve avere almeno una affermazione sulla cui correttezza il sistema stesso non può decidere. Inoltre il teorema dimostra che la coerenza del sistema non è dimostrabile con il linguaggio del sistema stesso.